Il triangolo è la figura geometrica piana formata da tre punti non allineati A, B, C che vengono chiamati vertici del triangolo, dai tre segmenti a, b, c e da tutti i punti interni agli infiniti segmenti che hanno estremi su due lati diversi del t.
I tre segmenti hanno come estremi rispettivamente B e C, C e A, A e B e si chiamano lati del triangolo.
Gli angoli CÂB, ABˆC, BĈA o α, β e γ rispettivamente, vengono chiamati angoli interni oppure, semplicemente, angoli del triangolo.
Spesso i lati si indicano con le stesse lettere a, b, c i lati e le lunghezze di essi, prese in una unità di misura prefissata, e rispettivamente con le lettere α, β, γ gli angoli e le misure di essi, prese in unità fissata (gradi o radianti).
Gli angoli adiacenti a ciascuno dei tre angoli interni si chiamano angoli esterni del triangolo.
Se i tre lati sono tra loro uguali, anche i tre angoli sono uguali tra loro e viceversa, il t. si chiama equilatero. Se due dei tre lati sono tra loro uguali, e il terzo non è uguale a essi, il t. si chiama isoscele.
Osserviamo il t. di cui sopra, se a = c si ha che β = γ e viceversa; in questo caso il lato b non è uguale agli altri due e si chiama base. Infine, se i lati sono tutti diversi tra loro, il t. si chiama scaleno.
Ad ogni lato del t. corrisponde un vertice e un angolo, per esempio al lato a corrispondono il vertice A e l’angolo α.
Il segmento che congiunge il punto medio di un lato con il vertice opposto si chiama mediana relativa a quel lato, e la lunghezza del segmento stesso si chiama lunghezza della mediana. Il segmento di perpendicolare disegnato tra da un vertice al lato opposto è l’altezza relativa a quel lato; la misura del segmento si chiama lunghezza dell’altezza.
Invece il segmento che congiunge il punto medio di ciascun lato con il vertice opposto a quel lato si chiama mediana.
Infine in ogni vertice esistono due rette che sono le bisettrici degli angoli, quello esterno e quello interno, del t. che hanno quel vertice e sono la bisettrice esterna e quella interna.
Le proprietà note del t. sono moltissime, tanto che si parla di geometria del triangolo.
Alcune proprietà
In un t. ogni lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza;
la somma degli angoli di un t. è di 180°, cioè non può superare due angoli retti;
ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti.
Richiamando il postulato euclideo della parallela si dimostra che ogni angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti e inoltre che la somma degli angoli interni del t. vale due angoli retti. Si ha quindi
α + β + γ = 180°
Essendo gli angoli misurati in gradi sessagesimali.
Particolare importanza storica ha avuto il t. che possiede un angolo retto (90°) e che si chiama t. rettangolo; i lati dell’angolo retto si chiamano cateti e il terzo lato si chiama ipotenusa.
Gli angoli acuti di un t. rettangolo sono complementari (la loro somma è 90°).
Tra le lunghezze dei cateti e quella dell’ipotenusa sussiste il teorema universalmente noto come teorema di Pitagora. La sua dimostrazione è attribuita a questo matematico e dice che:
Il quadrato costruito sull’ipotenusa vale la somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Di un certo interesse sono i cosiddetti elementi notevoli del triangolo, cioè i punti, le rette o altre figure geometriche aventi particolari relazioni con esso.
Elementi notevoli
Tra gli elementi notevoli ricordiamo:
- Consideriamo un cerchio esterno al triangolo e che ha in comune con il t i tre punti relativi ai tre vertici. Il centro del cerchio che passa per i tre vertici del t. (cerchio circoscritto) si chiama circocentro ed è il punto d’intersezione degli assi dei lati del triangolo;
- il punto d’intersezione delle tre altezze del t. è detto ortocentro;
- dicesi baricentro di un triangolo il punto di intersezione delle sue mediane, cioè dei segmenti che uniscono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto. Per ogni triangolo il baricentro è suo punto interno e si può dimostrare che ciascuna delle tre mediane viene divisa dal baricentro in due parti in rapporto 2:1 infatti la parte contenente il vertice è doppia rispetto all’altra;
- infine il punto di intersezione delle tre bisettrici del t. si chiama incentro.
Criteri di uguaglianza dei t.
In base alle proprietà elementari dell’uguaglianza delle figure un t. è univocamente determinato, a meno di movimenti rigidi, nei seguenti casi:
- quando si conosca un angolo α e la lunghezza dei lati b e c che lo comprendono;
- quando si conosca un lato a e la misura degli angoli β e γ che sono adiacenti a esso;
- quando si conoscano i tre lati a, b, c (purché le loro lunghezze soddisfino alle relazioni fondamentali che abbiamo ricordato);
- quando si conoscano due lati, a e b, e un angolo adiacente a uno di essi, per esempio β, purché si sappia che l’angolo opposto al lato a è acuto oppure ottuso.
La determinazione degli elementi incogniti di un t. che sia determinato (nel senso precisato) da certi elementi noti, può essere fatta mediante l’applicazione di calcoli algebrici e di funzioni delle quali si conoscano le tavole e che si chiamano funzioni trigonometriche. L’insieme di questi particolari procedimenti è oggetto della trigonometria piana.
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