Dissertazione di Klein, programma di Erlangen

La dissertazione di Klein abitualmente si indica anche come programma di Erlangen, località nota principalmente per il polo universitario della Friedrich-Alexander-Universität presso Norimberga. Nel 1872 Klein divenne professore a Erlangen, la cittadina universitaria presso Norimberga.

Con tale dissertazione F. Klein nel 1872, cioè nell’epoca iniziale dell’ultimo grande periodo nella storia della geometria, diede dei criteri fondamentali per la classificazione delle varie teorie matematiche che si fanno rientrare nella geometria e che hanno talvolta un legame solo molto lato con ciò che abitualmente si intendeva indicare con questo termine.

Klein stabilì i criteri per una visione unificatrice dei vari rami della vecchia scienza geometrica fondandosi sul concetto di “gruppo di trasformazioni”. Nell’ordine di idee di Klein ogni geometria si classifica in base a un determinato gruppo di trasformazioni che le è caratteristico: per es., la geometria elementare si caratterizza come lo studio delle proprietà delle figure che sono invarianti per il gruppo delle congruenze; la geometria simile come lo studio delle proprietà che sono invarianti per il gruppo delle similitudini, più vasto del precedente; e così via. Procedendo in questo senso si incontrano la geometria affine e la geometria proiettiva.

Il Programma di Erlangen definì una geometria che includeva sia la geometria euclidea che la geometria non euclidea.

Ma i suoi risultati non vennero universalmente accettati dai suoi contemporanei.

Egli pubblicò due scritti sulla geometria noneuclidea in cui mostrò che era possibile considerare la geometria euclidea e quella non-euclidea come casi speciali di una superficie proiettiva con l’aggiunta di una sezione conica. Ciò determinò il noto corollario che una geometria non euclidea è logicamente consistente se e solo se la geometria euclidea è consistente. Oggi la geometria non euclidea non è più un argomento controverso. Essa è posta ad uno stesso livello di importanza della geometria euclidea.