Storia della geometria, Sviluppo della geometria, Scienza razionale

Per esaminare, sia pur in modo approssimativo, la storia della geometria come scienza razionale, si usa distinguere nel suo sviluppo tre periodi fondamentali:

primo periodo o periodo classico, che va dalle origini all’invenzione della geometria analitica;
secondo periodo che va da Cartesio alla seconda metà del XIX secolo;
terzo periodo o periodo moderno che va dalla dimostrazione della compatibilità delle geometrie non euclidee ai giorni nostri.

Periodo classico

Le origini della geometria, staccata da ogni necessità di applicazione e da ogni empiricità di metodo, sono da farsi risalire alla civiltà greca antica. Tra i nomi dei matematici più ricordati che precedettero Euclide figurano Pitagora, Talete e Eudosso di Cnido. Con Euclide si ha poi la comparsa del primo tratto scientifico che è giunto fino a noi; gli elementi di questo geometra sono senza dubbio il frutto di civiltà scientificamente matura e raccolgono i risultati dei secoli che precedettero. Gli elementi di Euclide sono la più importante opera matematica giuntaci dalla cultura greca antica. Contengono una prima formulazione di quella che oggi è conosciuta con il nome di geometria euclidea.

L’opera consiste di 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze (in particolare il decimo libro riguarda la teoria degli incommensurabili) e gli ultimi tre la geometria solida.

La geometria di Euclide forma ancora oggi il nocciolo centrale delle conoscenze di geometria, tanto per il contenuto quanto per la sistemazione logica e metodologica.

Per il contenuto perché buona parte dell’insegnamento della cosiddetta geometria elementare che si svolge nelle scuole secondarie di primo grado verte sul contenuto del trattato euclideo.
Per la sistemazione logica e metodologica perché, nella visione di molte persone comuni, la geometria si presenta ancora oggi secondo una struttura che aveva con Euclide e ha mantenuto sino alla fine del secolo XIX; e cioè con una struttura logica di una scienza di carattere assiomatico-deduttivo che trae i suoi principi dall’osservazione di proprietà considerate come “evidenti” e trae le sue conclusioni con deduzioni assolutamente rigorose.

L’eredità scientifica di Euclide fu raccolta da generazioni successive di studiosi, tra i quali ricordiamo Apollonio di Perga, Archimede di Siracusa e Pappo di Alessandria.

La civiltà romana e quella del Medioevo non portarono contributi sostanziali al patrimonio di conoscenze di cui siamo debitori ai Greci; tale patrimonio fu invece ampliato dalla civiltà araba.

Durante il rinascimento italiano si effettuarono altre ricerche nel campo della geometria, sono quelle che diedero il primo germe a quelle che oggi formano la geometria proiettiva e la geometria descrittiva. L’insieme delle dottrine rinascimentali portarono anche al sorgere e al maturare dell’algebra come scienza autonoma. Il periodo classico si chiude con l’invenzione della geometria analitica da parte di R. Cartesio e di P. de Fermat.

Secondo periodo

Nel secondo periodo inizia l’introduzione sistematica nel campo della geometria dei metodi di altre scienze matematiche. Le ricerche iniziano con l’invenzione della geometria analitica. Le ricerche di K. F. Gauss e di B. Riemann diedero inizio alla geometria differenziale. Parallelamente lo studio delle proprietà delle sezioni coniche e le ricerche di G. Desargues portarono alla maturazione di ciò che era stato già avviato in epoca rinascimentale. Si sviluppò una corrente di ricerche geometriche che trovò il suo pieno fiorire con le idee geniali di J. V. Poncelet il quale fondò la geometria proiettiva come corpo autonomi di dottrina.

Periodo moderno

Questo periodo inizia, nella seconda metà del XIX secolo, con una crisi dei fondamenti, iniziata dal padre gesuita G. Saccheri*, da cui doveva uscire

un nuovo metodo di concepire la geometria, il suo oggetto e i suoi metodi,
doveva nascere anche lo spunto per le ricerche sui fondamenti della matematica che hanno il loro inizio nei primi anni del XX secolo e hanno dato un nuovo volto a questa scienza.

La crisi fu provocata dal conseguimento della dimostrazione della compatibilità logica delle geometrie non euclidee, dimostrazione ottenuta con i metodi della geometria differenziale del matematico italiano Eugenio Beltrami (matematico italiano, noto soprattutto per i suoi contributi alla geometria non euclidea e all’elettromagnetismo) e con i metodi della geometria proiettiva ad opera dell’ingegnere britannico Sir George Cayley e il matematico tedesco Felix Christian Klein.

In matematica, una metrica di Cayley-Klein è una metrica sul complemento di una quadrica fissa in uno spazio proiettivo definito utilizzando un rapporto incrociato.

La costruzione ha avuto origine con il saggio di Arthur Cayley “Sulla teoria della distanza” dove chiama la quadrica l’assoluto. Felix Klein sviluppò la costruzione, in maggiore dettaglio, in documenti nel 1871 e nel 1873, e successivi libri e documenti. Le metriche di Cayley-Klein sono un’idea unificante in geometria poiché il metodo si utilizza per fornire metriche nella geometria iperbolica, geometria ellittica e geometria euclidea. Il campo della geometria non euclidea poggia in gran parte sulla base fornita dalle metriche di Cayley-Klein.

Altri tentativi di dimostrare delle proposizioni geometriche indipendenti dal postulato euclideo si devono a J. H. Lambert, F. A. Taurinus e Gauss; ma i più importanti sistemi di proposizioni cosiffatte sono quelli dell’ungherese J. Bolyai e del russo N. I. Lobacevskij, che scrissero, operando indipendentemente uno dall’altro, i primi veri trattati di geometria non euclidea, concepiti e voluti come tali.

La concezione classica dell’esistenza di uno spazio geometrico che è fondamento delle proprietà che vengono studiate e ritrovate dalla geometria fu definitivamente demolita dall’esistenza provata di quelle che oramai vengono abitualmente indicate come “geometre non” (geometria non euclidea, geometria non arguesiana, geometria non archimedea). In corrispondenza, la concezione della geometria passava da quella di scienza assiomatico-deduttiva a quella di scienza ipotetico-deduttiva; scienza che pone i suoi principi scegliendoli con una certa libertà tra certe proposizioni che ci vengono suggerite ma non imposte dalle nostre esperienze elementari sulla forma, l’estensione, la posizione reciproca dei corpi materiali nello spazio che ci circonda.

La geometria quindi, durante i secoli, ha subito delle evoluzioni.

Una teoria che ha seguito in pochi decenni l’evoluzione che la geometria ha avuto durante i secoli è dato dalla topologia. Essa assunse nel suo apparire la fisionomia di una “geometria qualitativa” che si dedicava allo studio delle proprietà delle figure invarianti per trasformazioni di tipo qualunque, purché biunivoche e continue; oggi essa ha l’assetto di una teoria formalizzata, che usa metodi algebrici e insiemistici con tendenza ad astrarre in misura sempre maggiore da qualsiasi rapporto con una realtà geometrica “concreta” o “intuitiva”.

*Il padre gesuita ottenne il primo esempio storico di un trattato di geometria non euclidea.