Gli enti geometrici fondamentali sono il punto, la retta e il piano. Un ente geometrico fondamentale è una entità di base della geometria euclidea. Nella geometria euclidea i punti g. f. non vengono definiti e vengono accettati come noti, mentre nella geometria moderna i concetti di punto, retta e piano sono relativizzati e vengono definiti.
Enti geometrici fondamentali
Il punto, la retta e il piano sono chiamati anche enti primitivi.
Il segmento, la semiretta, la linea e il semipiano sono invece detti enti derivati e si ricavano utilizzando le definizioni e le proprietà degli enti primitivi.
Abbiamo detto che punto, retta e piano sono enti primitivi. Ma se non li definiamo, come possiamo conoscerne le caratteristiche? Ciò è possibile mediante dei postulati e, in particolare, mediante i postulati di appartenenza e d’ordine.
Sono postulati di appartenenza:
- La retta è un insieme di punti allineati
- A una retta appartengono almeno due punti distinti e a un piano almeno tre punti distinti non allineati.
- Due punti distinti appartengono a una e una sola retta.
- Tre punti distinti non allineati appartengono a uno e un solo piano.
- Considerata una retta su un piano, c’è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.
- Se una retta passa per due punti di un piano, allora appartiene al piano.
- Dire che un punto P appartiene a una retta r è equivalente a dire che P sta su r o anche che r passa per P
Sono postulati d’ordine
- Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B, o B precede A (proprietà antisimmetrica);
- Se sulla retta r il punto A precede il punto B e B precede C, allora A precede C (proprietà transitiva)
- Preso un punto A su una retta, c’è almeno un punto che precede A e uno che segue A. Questo postulato dice che una retta è illimitata: su una retta non esistono né un primo punto, né un ultimo punto
- Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c’è almeno un punto A della retta che segue B e precede C. Questo significa che una retta contiene infiniti punti.
Dai postulati d’ordine e di appartenenza possiamo dedurre che
- per un punto di un piano passano infinite rette:
- il piano contiene infiniti punti e infinite rette.
Indichiamo i punti con lettere maiuscole, le rette con lettere minuscole, i piani con lettere minuscole dell’alfabeto greco.
■ Nella figura sono rappresentati un piano a, una retta r e tre punti A, B e C. Il tratteggio agli estremi della retta indica che essa è illimitata da entrambe le parti.
Un punto O su una retta r la divide in due parti, ciascuna delle quali è illimitata e si chiama semiretta di origine O.
Di un piano diciamo che:
- è formato da infiniti punti;
- su di esso possiamo disegnare infinite rette
Una retta r su un piano α divide il piano in due parti, ciascuna delle quali è illimitata e si chiama semipiano di origine r.
Gli enti geometrici sono ottenuti con astrazioni dal mondo fisico che ci circonda. Per esempio, il punto della geometria non ha dimensioni e può essere considerato come l’astrazione del segno che lasciamo con una matita per rappresentarlo.
I punti sono gli enti che costituiscono tutte le figure geometriche.
QUINDI possiamo dire che la definizione di figura geometrica è:
Una figura geometrica è un insieme di punti.
Proprietà degli enti
Alcune proprietà degli enti fondamentali si possono descrivere mediante assiomi (o postulati). Un assioma è una cosa vera, un’affermazione evidente che non necessita di dimostrazione. Relativamente alle rette:
- Per un punto passano infinite rette; l’insieme delle infinite rette del piano che passano per un punto P si chiama fascio proprio di rette e P è il centro del fascio.
- Per due punti passa una e una sola retta.
Relativamente al piano piano:
- Per due punti, o per una retta, passano infiniti piani;
- Per tre punti non allineati passa un solo piano.
La geometria che studiamo si sviluppò per merito di matematici greci. In particolare, il metodo di ricavare tutte le proprietà dai postulati mediante deduzioni, detto metodo ipotetico-deduttivo o metodo assiomatico, venne utilizzato da Euclide negli Elementi, nel terzo secolo a.C. Per questo motivo la chiamiamo geometria euclidea.
IL PUNTO
Si rappresenta sulla carta con un pallino accompagnato da una lettera maiuscola dell’alfabeto. Esso indica una posizione e non ha dimensioni.
LA RETTA
E’ una linea diritta illimitata che contiene un insieme infinito di punti allineati tra loro e disposti in una sola direzione. Ha una sola dimensione, la lunghezza ed è indicata con una lettera minuscola dell’alfabeto
IL PIANO
E’ una superficie formata da un insieme continuo e infinito di rette che si estende per due dimensioni, la lunghezza e la larghezza. E’ illimitato e si indica con le lettere minuscole dell’alfabeto greco.
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