Formalizzazione logica, logica matematica, esempi ed esercizi

Formalizzazione logica con simboli e regole: La logica matematica è una branca della matematica che si occupa della formalizzazione del ragionamento matematico attraverso simboli e regole. Gli esercizi di logica matematica spesso coinvolgono proposizioni, connettivi logici e dimostrazioni.

Esempio di logica matematica:

Proposizione P: “Se un numero è pari, allora il suo quadrato è pari.”

Esercizio: Dimostra che se x è un numero pari, allora x² è un numero pari usando la logica matematica.

Esempio di logica matematica:

Proposizione Q: “Se due numeri sono dispari, la loro somma è pari.”

Esercizio: Dimostra che se a e b sono numeri dispari, allora a + b è un numero pari utilizzando la logica matematica.

esempio di logica matematica:

Proposizione R: “Se un numero è divisibile per 3 e 5, allora è divisibile per 15.”

Esercizio: Dimostra che se n è divisibile sia per 3 che per 5, allora n è divisibile per 15 usando la logica matematica.

Ed ora… esegui gli esercizi, poi confronta le tue risposte con le soluzioni:

Traduci la seguente proposizione in un linguaggio simbolico: “Se piove, allora uso l’ombrello.”
Dimostra che la somma di due numeri pari è sempre pari.
Utilizzando le leggi di De Morgan, semplifica la negazione della proposizione “È falso che oggi sia sabato e che il cielo sia sereno.”
Esprimi la congiunzione “Questa penna è blu e quella è rossa” in forma simbolica.
Dimostra per contraddizione che la radice quadrata di 2 è irrazionale.
Scrivi la negazione della proposizione “Ogni numero reale è positivo o negativo, ma non entrambi.”
Data la proposizione “Se oggi è lunedì, allora ho lezione di matematica”, scrivi la sua conversa.
Utilizzando l’implicazione logica, esprimi “Se il sole splende, allora la giornata è luminosa” in modo equivalente.

SOLUZIONI agli esercizi di logica matematica proposti:

Traduzione simbolica di “Se piove, allora uso l’ombrello”: P à U, dove P rappresenta “piove” e U rappresenta “uso l’ombrello”.
Dimostrazione che la somma di due numeri pari è sempre pari:

Supponiamo a e b siano numeri pari. Quindi, a = 2k e b = 2m per interi k e m. La loro somma è a + b = 2k + 2m = 2(k + m), che è un numero pari.

Utilizzando le leggi di De Morgan, semplificazione della negazione di “È falso che oggi sia sabato e che il cielo sia sereno”- OVVERO: negazione Oggi non è sabato o il cielo non è sereno. La proposizione originale può essere scritta come – (S ^ C), dove S rappresenta “oggi è sabato” e C rappresenta “il cielo è sereno”. Applicando le leggi di De Morgan, otteniamo – S V – C\, che significa “non è oggi sabato o il cielo non è sereno”.

Espressione simbolica per “Questa penna è blu e quella è rossa”: P ^ Q, dove P rappresenta “Questa penna è blu” e Q rappresenta “Quella è rossa”.
Dimostrazione per contraddizione che la radice quadrata di 2 è irrazionale: Supponiamo per assurdo che √2 sia razionale. Quindi, √2 = a/b dove a e b sono interi senza fattori comuni. Ma ciò porta a una contraddizione, poiché √2 non può essere espresso come frazione di interi.
Negazione di “Ogni numero reale è positivo o negativo, ma non entrambi”: Esiste un numero reale che non è né positivo né negativo.
Conversa di “Se oggi è lunedì, allora ho lezione di matematica”: Se non ho lezione di matematica, allora oggi non è lunedì.
Espressione equivalente di “Se il sole splende, allora la giornata è luminosa” utilizzando l’implicazione logica: SoleSplende —->GiornataLuminosa.

Spero che queste soluzioni siano chiare.